생활 · 사다리타기

사다리타기는 왜 공정한가: 가로줄 하나가 자리 바꾸기 한 번, 4명이면 24가지 결과 중 하나가 나오는 구조

작성 2026-10-18

커피 내기를 사다리로 정할 때 “맨 왼쪽이 유리하다”거나 “가로줄 많은 데가 걸린다”는 말이 나옵니다. 사다리타기가 만드는 사다리를 코드로 10만 번 돌려 실제로 어떤지 세어 봤습니다.

결과가 겹치지 않는 이유

가로줄 하나는 이웃한 두 세로줄을 잇습니다. 위에서 내려오다 가로줄을 만나면 반드시 건너가므로, 그 높이에서 일어나는 일은 두 사람의 자리를 맞바꾸는 것 뿐입니다. 자리 바꾸기를 아무리 여러 번 해도 두 사람이 같은 자리에 서거나 빈자리가 생기지는 않습니다. 그래서 4명이 출발하면 4개 결과에 정확히 한 명씩 도착하고, 가능한 결과는 4명을 줄 세우는 방법의 수인 24가지 중 하나입니다. 도구가 같은 높이에 이웃한 가로줄을 겹쳐 두지 않는 것도 이 성질을 지키기 위해서입니다.

그래서 완전 균등한가

이론적으로 가로줄이 충분히 많고 무작위면 24가지가 각 1/24(4.2%)로 나오고, 누구든 특정 자리에 도착할 확률은 25%입니다. 실제 도구는 12단 높이에 각 칸마다 45% 확률로 가로줄을 놓아 평균 12.7개를 만듭니다. 10만 번 만들어 세어 보니 아래와 같았습니다.

모두 21~29% 사이입니다. 맨 끝 자리는 한쪽으로만 건너갈 수 있어 자기 자리로 돌아올 확률이 조금 높고 (1번 28.7%), 멀리 떨어진 반대쪽 끝으로 가는 확률이 낮습니다(1번에서 3번 21.1%). 내기 한 번에 체감될 차이는 아니지만 “완전 균등”은 아니고 “끝자리가 제자리에 머물 가능성이 약간 높다” 정도입니다. 아무도 자리를 안 바꾸는 결과가 나올 확률은 4.7%로 이론값 4.2%에 가깝습니다.

가로줄이 적으면 섞이지 않는다

종이에 손으로 그릴 때 가로줄을 서너 개만 긋는 경우가 많은데, 그러면 섞임이 부족합니다. 높이를 줄여 같은 방식으로 돌려 보면 자기 자리로 돌아오는 비율이 자리마다 크게 벌어집니다.

3단이면 1번 자리는 제자리 27%, 3번 자리는 13%로 두 배 차이가 납니다. 사람 수의 세 배쯤 되는 가로줄이 있어야 어느 자리에서 출발하든 비슷해집니다. 손으로 그릴 때는 가로줄을 넉넉히 긋고, 긋는 사람이 결과를 모르는 상태에서 긋는 것이 핵심입니다.

도구 사용법

참가자와 결과를 쉼표로 넣으면 결과가 모자라는 만큼 “통과”로 채웁니다. 최대 10명입니다. “사다리 만들기”를 누르면 가로줄이 그려지고, 이름을 누르면 그 사람의 경로만 색선으로 공개됩니다. 긴장감이 필요하면 한 명씩 누르고, 빨리 끝내려면 “전체 공개”를 누릅니다. 사다리는 이름이나 결과를 고치는 순간 지워지므로 결과를 본 뒤 바꿔치기는 안 됩니다. 점심 메뉴처럼 결과 하나만 고르면 되는 일은 점심 룰렛이 빠르고, 내기에서 진 사람이 낸 금액을 나누는 계산은 더치페이 정산 계산기로 이어집니다.